Vận tốc góc

Vận tốc góc ω → {\displaystyle {\vec {\omega }}} và tốc độ quỹ đạo v → {\displaystyle {\vec {v}}} chuyển động tròn

Vận tốc góc ω → {\displaystyle {\vec {\omega }}} được biểu diễn bằng một vectơ giả, cho biết hướng của trục quay và tốc độ của chuyển động quay. Hướng của vectơ giả được định hướng sao cho chỉ ra hướng quay theo quy tắc mở nút chai . Lượng của vận tốc góc ω = | ω → | {\displaystyle \omega =\left|{\vec {\omega }}\right|} bằng với đạo hàm của góc quay φ {\displaystyle \varphi } sau thời gian t {\displaystyle t}  :

ω = d φ d t {\displaystyle \omega ={\frac {\mathrm {d} \varphi }{\mathrm {d} t}}}

Với vận tốc góc không đổi thì

ω = 2 π T {\displaystyle \omega ={\frac {2\pi }{T}}}

bởi vì với chu kỳ T {\displaystyle T} thì sẽ quét được góc 2 π {\displaystyle \pi } .

Với chuyển động tròn phẳng, hướng thay đổi vận tốc đường đi tức thời của một điểm có cùng vận tốc góc với vectơ bán kính của điểm. Trong trường hợp đường cong trong không gian, điều này áp dụng cho vòng tròn hiện tại. Do đó, sự thay đổi theo hướng của tốc độ web cũng có thể được sử dụng để xác định tốc độ góc. Nó kết quả trực tiếp từ dữ liệu của đường dẫn và không yêu cầu xác định trục quay.

Số lượng ω {\displaystyle \omega } vận tốc góc chủ yếu được sử dụng trong các quá trình trong đó trục quay không thay đổi. Sự thay đổi hướng và / hoặc độ lớn của vận tốc góc là kết quả của gia tốc góc .

Vận tốc quỹ đạo

Mỗi điểm của hệ quay đều mô tả một đường tròn mà mặt phẳng của nó vuông góc với trục quay. Tốc độ quỹ đạo điểm v → {\displaystyle {\vec {v}}} trên vòng tròn này là

v = ω r ⊥ {\displaystyle v=\omega \,r_{\perp }}

ở đây r ⊥ {\displaystyle r_{\perp }} là bán kính của chuyển động tròn. Bởi vì trong khoảng vô cùng bé d t {\displaystyle \mathrm {d} t} thì d s = r ⊥ d φ = r ⊥ ω d t {\displaystyle \mathrm {d} s=r_{\perp }\,\mathrm {d} \varphi =r_{\perp }\,\omega \,\mathrm {d} t} .

Nếu gốc O {\displaystyle O} của hệ tọa độ nằm trên trục quay, khi đó vận tốc quỹ đạo về hướng và lượng bằng với tích chéo của vận tốc góc và vectơ vị trí:

v → = ω → × r → {\displaystyle {\vec {v}}={\vec {\omega }}\times {\vec {r}}} .

bởi vì khoảng cách từ trục là

r ⊥ = r s i n ϑ {\displaystyle r_{\perp }=r\,\mathrm {sin} \vartheta }

với góc cực ϑ {\displaystyle \vartheta } là khoảng cách góc không đổi giữa trục quay và vectơ vị trí đến điểm đang xem xét.

Việc xem xét tốc độ thay đổi của vectơ vị trí này áp dụng cho bất kỳ vectơ nào có thể xoay, ví dụ:   B. cho các vectơ cơ sở e → i ′ {\displaystyle {\vec {e}}'_{i}} ( i ∈ { x , y , z } {\displaystyle i\in \{x,y,z\}} ) của một hệ quy chiếu xoay . Vận tốc thay đổi của nó là d e → i ′ d t = ω → × e → i ′ {\displaystyle {\frac {\mathrm {d} {\vec {e}}'_{i}}{\mathrm {d} t}}\,=\,{\vec {\omega }}\times {\vec {e}}'_{i}}